勾股定理，又名毕达哥拉斯定理（英文：Pythagoras theorem），是一个基本的几何定理。勾股定理是指：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果用表示斜边，分别表示两条直角边，那么上面的关系可写成。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的基本关系，只要确定直角三角形两边的长，就可以定量地确定直角三角形第三边的长。
勾股定理最早的记录可以追溯到古巴比伦文明时期，巴比伦人使用了一个与勾股定理等价的数值关系，但没有给出数学证明。在中国最早将勾股定理系统化地表述的书籍是《周髀算经》。随着时间的推移，古希腊的毕达哥拉斯学派开始研究勾股定理。他们提出了一个基于直角三角形的几何证明，将勾股定理与数学联系起来。该学派的创始人毕达哥拉斯(Pythagoras)被认为是勾股定理的发现者。古希腊的欧几里得在其著作《几何原本》中详细讨论了勾股定理，并给出了多个证明方法。波斯数学家尼什布尔（Nasir al-Din al-Tusi）在公元11世纪发现了一个更一般的勾股定理，即不仅限于直角三角形，任意三角形都适用。从公元16世纪开始，勾股定理逐渐引入欧洲。
勾股定理可用多种方法进行证明，例如可利用梯形和三角形的面积公式证明、利用相似三角形的性质证明、赵爽弦图、青朱出入图、毕达哥拉斯证法、欧几里得证法等。勾股定理成为了几何学中的基本定理，在数学、建筑与工程、物理学以及数据分析与应用技术等领域均有广泛的运用。
定理内容
勾股定理是指这样一个命题：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果用表示斜边，分别表示两条直角边，那么上面的关系可写成。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的基本关系，只要确定直角三角形两边的长，就可以定量地确定直角三角形第三边的长;可用表达式表示为sqrt。如果从纯几何的角度来看，勾股定理又可以被叙述为：直角三角形两条直角边上正方形的面积的和，等于斜边上的正方形的面积。
勾股数
勾股数是指满足的一组正整数,例如、、等。
历史沿革
勾股定理最早的记录可以追溯到古巴比伦文明时期，大约在公元前2000年左右。巴比伦人使用了一个与勾股定理等价的数值关系，但没有给出数学证明。他们发现了一个特殊的数值关系：如果一个直角三角形的两条短边的长度分别为3和4，那么斜边的长度将是5。这个数值关系被广泛应用于土地测量和建筑工程中。然而，在中国最早将勾股定理系统化地表述的书籍是《周髀算经》。这本书中记载了一些勾股数（满足勾股定理的整数边长组合），但并没有给出勾股定理的证明。随着时间的推移，古希腊的毕达哥拉斯学派开始研究勾股定理。毕达哥拉斯学派的创始人毕达哥拉斯被认为是勾股定理的发现者。他们提出了一个基于直角三角形的数学证明，将勾股定理与数学联系起来。毕达哥拉斯学派的成员相信，数学是宇宙的基本原理，并将其与哲学和宗教相结合。这为后来的数学和几何学的发展产生了深远的影响。
古希腊的欧几里得在其著作《几何原本》中详细讨论了勾股定理，并给出了多个证明方法。欧几里得的证明方法包括基于面积的证明、相似三角形的证明等，对勾股定理的研究起到了重要的推动作用。在印度，数学家布拉马古普塔（Brahmagupta）在公元7世纪的著作《布拉马法典》中提出了勾股定理的一个特殊情况，即勾股数。勾股数是指满足勾股定理的整数解，即。布拉马古普塔的研究对勾股定理的应用和推广起到了重要的作用，为后来数学家的研究提供了重要的线索。波斯数学家尼什布尔（Nasir al-Din al-Tusi）在公元11世纪发现了一个更一般的勾股定理，即不仅限于直角三角形，任意三角形都适用。尼什布尔的研究在三角学的发展中起到了重要的推动作用，使勾股定理的应用范围更加广泛。从公元16世纪开始，勾股定理逐渐引入欧洲。勾股定理成为了几何学中的基本定理，并在数学和科学研究中得到广泛应用。
证明方法
利用梯形和三角形的面积公式
证明
如下图所示，在triangle中，为直角，,,。延长至点，使得，过点作并截取,连接，，则四边形是一个梯形，且cong,所以CAB，又因为CBA,所以angle,于是ABE,即triangle为直角三角形。,但是BDE，即,化简得到。
利用相似三角形的性质
相似三角形
如果在triangle和中，,,;,则和称为相似三角形。即若两个三角形各角对应相等，对应边成比例，则这两个三角形称为相似三角形，相似用符号sim表示。相似三角形具有如下性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段之比等于相似比；（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
证明
勾股定理的另一种证法，是通过相似三角形的性质得到的。如下图所示，在直角Delta中，其中angle为直角，过点作于点，由于CDB和ADC都和相似，因此,,。
利用切割线定理证明
在直角中，，，，，以为圆心，为半径画圆，交圆于点，的延长线交圆于点。根据切割线定理，即从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，可得：，所以c-a,所以。
用反证法证明
在直角Delta中，设直角边，，斜边。过点作，垂足为点，如下图所示。 假设，即 则由可知 或即或 在ADC和ACB中,因为angle，若，则。在和中 ，因为 ，所以若，则CDB，因为，所以ADC， 这与矛盾，所以假设不成立 ，所以。
赵爽弦图
在《九章算术》里，古代中国数学家赵爽给出了如下的证明方法（经简化）：
如所示图像，外围的大正方形的边长为，它被划分为长为和长为的两部分。从图中可以观察到，线段、线段、线段和线段的长度都是，因此四边形也是一个正方形。正方形内部的四个三角形是全等的直角三角形，它们的属性和形状都相同。
证明：可以采用不同的方法来计算外围大正方形的面积。一种方法是将边长相乘，即。另一种方法是将正方形的面积和四个全等的直角三角形的面积相加，即。这两种方法都可以得出外围大正方形的面积，即，化简得。
青朱出入图
如图，在图中，存在一个大正方形（标记为青色）和一个小正方形（标记为朱色）。图上显示了两个“青出”的直角三角形和一个“朱出”的直角三角形。如果将“朱出”移动到“朱入”的位置，并且将两个“青出”的直角三角形分别移动到两个“青入”的位置，就会形成一个新的大正方形。在这个新的大正方形中，可以观察到“青入”的直角三角形，其两条直角边分别与“朱方”的边长和“青方”的边长相等，而斜边则与新大正方形的边长相等。这证明了直角三角形中两边的平方和等于斜边的平方，也就是勾股定理的原理。青朱出入图包含了“勾广三，股修四，径隅五”的思想。
传说中的毕达哥拉斯证法
毕达哥拉斯的证法已失传，以下为传说中的毕达哥拉斯证法：
如图，左侧正方形的面积与右侧正方形的面积相等，它们的边长都为。通过绘制辅助线，可以将左侧的大正方形分成一个边长为的小正方形、一个边长为的小正方形，以及四个全等的直角三角形，这些三角形的直角边分别为、，斜边为。同样地，右侧的大正方形也可以分割为一个边长为c的小正方形和四个全等的直角三角形，这些三角形的直角边分别为、，斜边为。这些分割和构造过程清楚地展示了勾股定理中直角三角形的构造和关系。
即，，
简化得。
欧几里得证法
如图，在直角Delta中，BAC。四边形、和均为正方形。通过证明和的面积之和等于的面积，就可以证明勾股定理。
证明：过A点作的垂线，并连接。
因为且在正方形中
所以BAC，即三点共线。
同理可知，三点也共线。
因为在正方形中，DBC，且在正方形中FBA
所以
因为，且
所以
又因为在正方形中，且在正方形中
所以Delta和是全等三角形，两者面积相等。
因为，而四边形
所以四边形的面积是面积的两倍
同样地，的面积可以表示为 。而正方形的面积为，也就是说正方形 的面积是Delta面积的两倍。
因此，可以得出四边形的面积等于正方形的面积。
类似地，，，BCK，Delta
四边形，，，BCK
因此，四边形的面积等于正方形的面积。同时，正方形的面积又等于四边形和四边形的面积之和。综上所述，可以得知正方形的面积等于正方形的面积和正方形的面积之和。
在直角Delta中，和是直角边，是斜边。因此，可以得出结论，以直角三角形的三条边为边长所建立的正方形，以斜边为边的正方形的面积等于以两条直角边为边的正方形的面积之和。这就完成了对勾股定理的证明。
勾股定理的推广
向边上图形的推广
在直角三角形勾股弦上分别作任意相似多边形，则弦上的多边形的面积等于勾、股上两多边形的面积之和。
在任意三角形大边上，向形内作平行四边形，使它的另两个顶点位于三角形外，再在三角形的另两边上，分别作平行四边形，使与三角形两边分别平行的边过大边上平行四边形的另两顶点，则大边上平行四边形的面积等于另两边上平行四边形面积的和。如下图所示，triangle为任意三角形，是最大边，四边形,,分别为平行四边形。分别过,则四边形的面积等于四边形与四边形的面积之和。
高维的勾股定理
在直棱锥中，是具有三个直角的顶点，CDA的面积记为,则。此外，勾股定理还可以推广至高维情形，即对 中超平面 的开区域 Omega, 它的测度的平方是它沿每一条坐标轴的投影的测度的平方和。
余弦定理
在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与其夹角余弦之积的两倍。即,,。
证明1（勾股定理）：在triangle中，交或其延长线于点，则在Delta中，,当为锐角时，cos,c-AD,两式子两边分别相加得到,化简可得,当angle为钝角和直角时同理可得。
勾股定理的逆定理
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形，第三边所对应的角为直角。
证明（反证法）：如下图所示，在triangle中，。若，那么或者angle,若， ,与已知条件矛盾，故不能小于。若，则 ,与已知条件矛盾，故不能大于，因此等于，为直角三角形。
例题
已知三边的长为,求证为直角三角形。
证明：因为,,,因此，由勾股定理的逆定理可知为直角三角形。
应用领域
数学领域
勾股定理在数学领域具有十分广泛的应用，在数学平面几何可以用来证明许多结论。例如勾股定理可用于证明不等量关系，即在三角形中，大边上的高小于小边上的高。例如，已知在中，,分别是边上的高，证明。
证明：因为,所以四点共圆，所以,而,所以,,即,;而sqrt,,所以，即。
建筑与工程
勾股定理可以用于测量和计算建筑物、桥梁等结构的长度、角度和距离等。例如在建筑工程测量中，勾股定理可用于建筑物的水平位移观测。如下图所示，在垂直于建筑物的轴线的方向上布设两条相互垂直的基线与（基线的端点埋设永久性标志）。在建筑物上对应于基线方向的位置钉上标牌，并用经纬仪以正倒镜取中法将、延长到标牌上，分别得、点，并钻以小孔标志。若过一段时间后建筑物发生了水平位移（图中虚线位置），则再将基线延长到标牌上时，必得到和点。量取与和与间的水平距离，即可获得建筑物的纵、横向位移。根据纵、横向位移的大小，利用勾股定理便可求得建筑物的合位移。
此外，勾股定理在古代也被应用于水利工程的建设。这一应用在《周髀算经》中有所提及，商高说道：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为勾，广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。” 商高认为，这种数学方法是从圆到方再到矩，最终形成了勾股的概念。他指出，大禹在治理天下时，也使用了勾股定理的方法来进行水利工程的规划和建设。这展示了古代中国人在工程领域中应用数学知识的智慧。
物理学
勾股定理在物理学中具有广泛的应用，勾股定理可以用于计算物体的速度、加速度和力的分解等问题。例如在求取时间膨胀系数中就有勾股定理的运用。从图速度图中可以看出，车厢中A点发出的光线的速度为,火车的速度,由于火车的运动方向与光的方向相差90°，所以习惯地认为光速与火车速度的合成速度为sqrt。由于光速是不会改变的,只能是时间发生了膨胀效应。从图的距离图上可以看出：光在车厢内走的距离为，火车走的距离为，而光在空间中走过的距离为,由此得出，这说明光速并没有变，而是光相对于地面上走的距离等于车上的走的距离。由图,根据勾股定理：,,,sqrt，时间的膨胀系数为。
数据分析与应用技术
如下图，在直角坐标系中，假设经测量已经得到两点的坐标：,,那么根据勾股定理则可以得到两点间的距离为,按照此公式计算的距离称为欧式距离。欧式距离被广泛应用于数据分析与应用技术中，例如，为了度量体系结构中的相似性，可采用相似度算法作为计算相似的依据，而相似度算法又包括针对离散值的算法和针对连续值的算法等，常用的相似度算法有欧式距离等。