卡尔达诺公式（英语：Cardano’s Formula），又称卡当公式、卡尔丹公式，是一般三次代数方程的求根公式。对于一元三次方程，先令，把三次方程转化为，再用卡尔达诺公式求解简化后的方程，可以得到三个根为，，，其中，，。
1515年左右，意大利数学家S.del 费罗首先发现了三次方程的解法。1530年，同为意大利数学家的N.尼科洛·塔尔塔利亚发现了方程的解法，并于1535年再次发现了希皮奥内·费罗的解法。1539年，塔塔利亚向吉罗拉莫·卡尔达诺透露了一种三次方程的解。意大利数学家卡尔达诺在其1545年出版的《大术》中首次发表这个公式。由于他的贡献，三次方程求解方法被命名为“卡尔达诺公式”。晚清时期，卡尔达诺公式通过译本《代数术》首次传入中国。
卡尔达诺公式促使人们开始研究复数，启发人们研究解决五次及以上方程的求解问题，最终导致群论的创立，使整个代数获得新的发展。因此，卡尔达诺公式被认为是整个欧洲近代数学崛起的先声。
公式得名
吉罗拉莫·卡尔达诺1539年从尼科洛·塔尔塔利亚处得到这一类方程的解法，后进行了推广并第一个找到该法则的数学证明，1545年，方法被首次公开发表。他也是唯一发表这项成果的数学家。由于他的贡献，三次方程求解方法被命名为“卡尔达诺公式”。
简史
1494年，意大利数学家帕西奥利对一元三次方程进行过艰辛的探索，得出的结论却是在当时的数学中，求解一元三次方程，犹如化圆为方的问题一样，是根本不可能解决的。
1500—1515年间，希皮奥内·费罗得到了这一类缺一次项的一元三次方程的求解公式。但他没有马上发表自己的成果。1534年，尼科洛·塔尔塔利亚宣称得到了形如这类没有一次项的三次方程的解的方法。1535年，塔塔利亚再次发现了费罗的解法。
1539年，吉罗拉莫·卡尔达诺向塔塔利亚求教三次方程的解法。塔塔利亚向卡尔达诺透露了一种三次方程的解法，并要求卡尔达诺发誓不先发表该解法(根据塔塔利亚的论述)。卡尔达诺随后展开了对三次方程的深入研究。他的学生费拉里帮助其整理手稿，并于1540年首次用一般方法解出了一个四次方程。1541年，尼科洛·塔尔塔利亚完全解决了三次方程求解问题，但他并没有马上发表他的成果。1543年，卡尔达诺和费拉里在波伦亚见到了费罗的手稿。卡尔达诺认为不必再坚持对塔塔利亚的誓言，决定出版他和费拉里的研究成果。1545年，吉罗拉莫·卡尔达诺在德国纽伦堡出版了一部名为《大术》的著作。在《大术》中，卡尔达诺第一次发表了求解实系数一元三次方程的方法。尽管卡尔达诺在书中三次提及塔塔利亚的相应贡献，但后者还是非常愤怒，并在其著作《各种问题与发明》(1546)中指责卡尔达诺欺骗并违背了誓言。在1547年至1548年，费拉里和尼科洛·塔尔塔利亚进行了一场数学史上著名的论战。
1572年，意大利数学家拉法耶尔·蓬贝利在著作《代数学》中，系统总结了代数方程理论．其中指出不可约三次方程有三个实数根，但是在卡尔达诺公式中，这些根被表示为复虚数的两个三次根之差．邦贝利指出事实上存在明显的虚数根，并给出虚数的一种表示形式和运算法则，指出虚数根的共轭性，是虚数发展史上的重要里程碑。
至晚清时期，卡尔达诺公式首次通过译本《代数术》传入中国。该书由傅兰雅口译、华蘅芳笔述、刘彝程校算，于1873年在江南机器制造总局出版。《代数术》共25卷，包含281款，其英文底本源自《不列颠百科全书》第8版中，由英国数学家华里司撰写的《代数学》辞条。其中，卷11“论三次之正杂各方式之解法”部分，详细介绍了卡尔达诺公式。
定义
则方程的三个根为
，
，
，
于是原三次方程的根为，。
后人称这个三次方程求根公式为“卡尔达诺公式”（或称卡当公式）。
性质
判别式
称为三次方程的判别式。
如果，则三次方程有一个实根和两个共轭虚根。
如果，则三次方程有三个是根，其中两个是相等的。
如果，则三次方程有三个互不相同的实数根。此时，称为不可约的。
不可约情形
如果，则三次方程叫做不可约三次方程。
用卡尔达诺公式解三次方程的方法中有一个疑难点。对此，吉罗拉莫·卡尔达诺虽然指出了但并未解决。当三次方程的三个根都是实根而且各不相同时，但这三个实根却不能用代数方法（也就是用根式）得出。这种情形称之为不可约的。
当三次方程的三个根都是实数根而且各不相同时，按卡尔达诺方法却得到负数的平方根。
例如方程有三个实数根，即，但利用卡尔达诺公式得到一个根和两个更加复杂的根。
当三次方程的三个根都是实数根而且各不相同时，按卡尔达诺公式需要计算负数的平方根，得到的解不但没有简化，反而更复杂了。卡当诺把这种情况称为不可约情况。
对于不可约的三次方程求解有如下定理：
定理：如果三次方程的判别式，则它的三个根为
，其中
推导
一元三次代数方程的一般形式为，把它的各个根减去，且设。原来的三次方程就可以变换成一个不含有二次项的方程(未知元仍然用表示)即。所以，研究三次方程的解法，只需要研究这种形式的方程。
设，于是，即。根据一元多项式根与系数的关系，可知是二次方程的两个根，解得
（该式称为（1）式）和
（该式称为（2）式），且满足。设（1）式的任意一个解为，则另外两个解为，这里是的三次单位根。由（2）式解得相应于的三个解为。于是的三个解可以表示为
，
，。
几何证明
在《大衍术》第13章中，吉罗拉莫·卡尔达诺给出了三次幂加上常数等于一次项（即:）的方程的解法，并叙述了他的证明。在这里他并没有直接给出的算术表达式，而是给出了方程与方程的正根之间的关系。两个方程的解之间的关系是：。
以下就是卡尔达诺对这个结论的证明过程：如图1：作一边长为的正方形和一个正方形。令，则有，把分割成两个矩形和，并且有在图形上取，使得。
取为与矩形面积相等的正方形的边，取的中点，然后取点使得，则
，。
下面来证明是方程的根。因为。
根据《几何原本》第二卷的命题4，比 多
即，因此，
而，
因此，
而，于是
从而满足方程，因此为方程的解。同理可以证明也是方程的解。
应用
例：求解
解令，原方程转化为，
此方程中，判别式。
令，由卡尔达诺公式得到
于是得
由得
意义
用卡尔达诺公式求解三次方程时，不可约的情形出现了计算负数开方，这使得复数变得无法回避，开启了复数研究的新局面；四次方程求解公式随之得以解决，诱使人们企图借助类似的方法解决五次及以上方程的求解问题，最终却导致群论的创立，整个代数获得新的发展。因此，卡尔达诺公式被认为是整个欧洲近代数学崛起的先声。现代著名数学家F，克菜因称它包含了现代数学的萌芽，远远超出了古典代数学的框架。
名称争议
从整个数学史看，三次方程求解公式，是16世纪数学宝库中的明珠。但是这样一项成果却有些“身世不清”，成为数学史上最有争议的发现之一。
一种观点认为，在数学史上，这个公式是意大利数学家塔塔利亚首先得到的，后来被米兰地区的数学家吉罗拉莫·卡尔达诺骗到了这个解三次方程的公式，并发表在自己的著作里，所以这个公式被称为卡尔达诺公式。其实，它应该叫塔塔利亚公式。
另一种观点认为，三次方程求根公式称为“卡尔达诺公式”名副其实。首先，卡尔达诺第一个给出求解法则的数学证明，这在当时是至关重要的；其次，卡尔达诺第一个给出四项俱全的一般三次方程的求解法则，而希皮奥内·费罗和尼科洛·塔尔塔利亚只解决了一类或几类缺项的三次方程；第三，卡尔达诺首先系统发表了三次方程求解法则，享有优先权；第四，吉罗拉莫·卡尔达诺第一个注意到三次方程求解的不可约情形，并由此提出虚数问题，这对方程理论研究有重要意义。
另外，也有观点认为，16世纪尚无通行的代数符号，所谓“公式”都是用语言来叙述的，因此改称“法则”较好。
相关介绍
四次方程求根
卡尔达诺的学生费拉里沿用他的老师的方法，给出了一元四次方程的求根公式。对于四次方程，两边加后配方化为
令上式左端为的形式，展开比较系数，消去，整理得
这是一个关于的三次方程，可以得的一个实根（至少一个)。又因为，所以上述四元方程的根可以由两个二次方程解得，即。
增乘开方术
一般高次方程的数值解法和理论是中国传统数学的重要研究领域，代表成就是增乘开方法。该方法由贾宪在11世纪首创，在13世纪中叶就已趋于完善。卡尔达诺公式传入中国后，中国传统的数学家们一开始是以自己的价值标准衡量它、理解它、研究它，在传统数学中找到了对应点——开方术。
立方根为三位数的整立方的增乘开立方法的术文是：“（1）实上商置第一位得数。（2）以上商乘下法入廉，乘廉入方，除实讫。（3）复以上商乘下法入廉，乘廉入方。（4）又乘下法入廉。（5）其方一，廉二，下三退。（6）再于第一位商数之次，复商第二位得数，以乘下法入廉，乘廉入方，除实讫。(7）以次商乘下法入廉，乘廉入方。(8）又乘下法入廉。(9）其方一、廉二，下三退，如前。(10）上商第三位得数，乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实适尽，得立方一面之数。”
上面术文中“实”“方”“廉”“下法””“廉”“下法”和《九章算术》“少广”章刘徽“注”意义相同。“商”是商议所得的立方根的第一位、第二位或第三位数字。“入”是加入。逐步演算时须要随乘随加，所以叫做“增乘开方法”。
参考资料
MATH 4552 Cubic equations and Cardanos formulae.people.math.osu.edu.2025-06-08
《大术》.中国大百科全书.2025-06-09
《大术》.《大术》.2025-06-23
增乘开方术.中国大百科全书.2025-06-23