庞加莱映射是数学和动态系统研究中的一个重要概念，它涉及连续动力系统的状态空间中周期轨道与特定低维子空间（庞加莱截面）的横截交点。通过在亨利·庞加莱截面上观察轨迹的穿过情况，可以简洁地判断运动的形态，从而得到庞加莱映像。
内容简介
庞加莱映射是由相空间中轨线运动定义的一种映射。当轨线反复穿越同一截面时，反映后继点对先行点依赖关系的映射。一个连续非线性动力系统的求解是非常困难的，法国数学家庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)给出了相图分析法。在相图中虽然不能定量地知道物理量随时间的变化，但可以定性地得到轨线的形态类型及其拓扑结构，从而了解动力系统运动的全局图像。为了更清楚了解高维相空间运动的形态，亨利·庞加莱在连续运动的轨线上用一个截面(称庞加莱截面)将其横截，轨线在截面上穿过的情况就可以简捷地判断运动的形态.以S记庞加莱截面，xn(n=0，1，2，…)为轨线前一次穿过S的点，xn+1为轨线后一次穿过S的点，xn+1可看成xn的一种映射：
xn+1=f(xn) (n=0，1，2，…)，
这个映射就称为庞加莱映射。这样就可从概念上把一个连续的运动化简为离散映射来研究。
同时，该映射的不动点则反映相空间的周期运动。如果运动是二倍周期的，则在亨利·庞加莱截面有两个不动点；如果运动是四倍周期的，则有四个不动点等。
映射
映射亦称函数。数学的基本概念之一。也是一种特殊的关系。设G是从X到Y的关系，G的定义域D(G)为X，且对任何x∈X都有惟一的y∈Y满足G(x，y)，则称G为从X到Y的映射。即关系G为映射时，应满足下列两个条件：
1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).
2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).这个被x∈X所惟一确定的y∈Y，通常表示为y=f(x)(x∈X)。f(x)满足：
1) f(x)∈Y.
2) G(x，f(x))成立(x∈X).
3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).
关系G常使用另一些记号：f：X→Y或XY。f与G的关系是y=f(x)(x∈X)，当且仅当G(x，y)成立。可取变域X中的不同元素为值的变元称为自变元或自变量。同样可取变域Y中的不同元素为值的变元称为因变元或因变量。始集X称为映射f的定义域.记为D(f)或dom(f)。终集Y称为映射的陪域，记为C(f)或codom(f)。Y中与X中的元素有关系G的元素的组合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}称为映射的值域，记为R(f)或ran(f)。当y=f(x)时，y称为x的象，而x称为y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。对于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}称为A的象。记为f(A)。对于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}称为B的原象。记为f(B)。显然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。
相空间
相空间又称“相宇”。 经典统计力学中为描述系统的微观状态 所采用的多维空间。如果只考虑微观粒子 的移动，则每一个粒子的运动状态可以由 空间位置x、y、z以及相应动量分量px、 py、pz来确定。对于N个粒子组成的系统， 如以N个粒子的x1、y1、z1、…、xN、yN、 zN、px1、py1、pz1、…、pxN、pyN、pzN为坐 标轴，组成6N维空间，则该空间中的每一 点，即代表系统的一个微观状态，点的运动 则代表微观状态的变化，这种空间称为“相 空间”或“γ空间”。如以x、y、z、px、py、 pz为坐标轴，组成6维空间，则空间中每一 点代表处于一定运动状态的一个粒于系 统的微观状态则由N个点的集合来代表，点集的运动则代表微观状态的变化，这种空间称为“子相空间”或“μ空间”。如果还 要考虑除移动以外其他的微观运动形态， 如转动、振动等，则相空间的维数相应增 加。
相图
相图表示不均匀体系中“相”与成分、温度、压强等热力学参数之间关系。从被测定的相图的种类而言，有平衡图、亚稳图和表达某种特性的相图。其中以平衡图研究应用的最为广泛。
平衡图是表示不同温度、压力以及不同成分下物体系中各相热力学平衡关系的一种图解，也称作状态图。等温等压条件下，热力学平衡状态总是对应于系统总的Gibbs自由能G最低的状态。因此，原则上说，总是可以由已知各相在给定温度和压强下的自由能G随成分变化的相对关系求出平衡图，当今不少相图计算的工作就是基于这样的思想。平衡图更多是由实验测定的，常用的实验方法有热分析法、金相法、X射线法、电阻法、膨胀法以及磁性法、硬度法，热电势法等等。最常用的平衡图是在定压条件下用温度成分表征的平衡图，如二元相图、三元相图等.二元相图指由二组元组成体系的相图，由于表征成分的独立变量只有一个(x1+x2=1)，常用横坐标表示成分(可以是重量百分数，也可以是原子百分数)，纵坐标表示温度.所以等压下的二元相图是一个平面图.最简单类型的二元相图有匀晶相图、共晶相图、包晶相图、形成化合物(或中间相)的相图、偏晶相图，以及有固态转变的共析、包析等的相图。从这些相图可以知道不同成分的合金，在某温度下的平衡状态有哪些相，温度改变时，可能发生哪些转变，在两相平衡区还可以利用杠杆定律知道各相的相对数量和相的成分等等。
实际固体材料中，不少相是处于亚稳状态，这种状态决定于温度、压力和其它条件的连续变化，因而构成了一个比平衡图更复杂的体系。图1为Al-Cu合金中G.P.区和θ″相溶解度的相图。G.P.区和θ″相都是亚稳相，所以这是一个亚稳相图。由于非晶材料、准晶材料和快冷技术的出现，亚稳相图的研究已成为一个值得重视的方向。