设m，n为正整数，p为素数，则C(下m+n上m)含p的幂次等于m+n在p进制下的进位次数。
简要证明
组合数 所含p的幂次数为
=
这是因为组合数公式 以及n！含有素数p的幂次公式vp(n!)= 。
对于某个p^i，等于m在p进制表示下去掉后i位，在第i+1位上，m+n在这一位上进位的充要条件是 =1，不进位则 =0.因此 就是m+n在p进制下的进位次数。
应用举例
例（2014 中国数学奥林匹克 30，4，21分）求具有下述性质的所有整数k：存在无穷多个正整数n，使得n+k不整除。
解 ∵ = = ,
∴ = - 是整数，
∴n+1| 对任意正整数n成立，从而1不满足要求。
当k≤0时，取n=p-k（p为奇素数，p\u003e-2k），满足要求。
当k≥2时，取k的一个素因子p，选取正整数m使得p^m\u003ek，令n=p^m-k，我们证明：n+k不整除。
显然有n\u003e0，由n\u003cp^m知n在p进制下最多m位，∵p|k，p|p^m，∴p|n。∴在p+1进制下n个位为0.
∴2n=n+n最多进位m-1次。由库默尔定理，最多有m-1个p，∵n+k=p^m，∴